Теорія систем лінійних рівнянь кладе початок великої і важливої розділу алгебри - лінійної алгебри. Відмінність від елементарної алгебри в лінійної алгебри вивчаються системи будь-якого числа рівнянь з будь-яким числом невідомих. Як коефіцієнтів при невідомих будемо використовувати дійсні і комплексні числа. Невідомі будемо позначати Х1, х2, ..., х N. Якщо рівняння занумерувати числами 1, 2, ..., m, то коефіцієнт при к-ом невідомому в р-ом рівнянні будемо позначати 
Рк ,, вільний член р-го рівняння будемо позначати 
. Отже, система рівнянь запишеться наступним чином:
(1)
Очевидно права частина системи (1) цілком визначається таблицею своїх коефіцієнтів, т. Е. Прямокутної таблицею з m рядків і n стовпців:
(2)
Визначення 1. Матрицею порядку M 'N називається таблиця, що складається з m рядків і n стовпців. Якщо m = n, то матриця називається Квадратної матрицею N-го порядку.
Матриця (2) називається Матрицею системи (1). матриця
(3)
Називається Розширеної матрицею цієї системи.
Відзначимо наступні властивості системи (1), часто допомагають при її вирішенні.
· Якщо в системі (1) два або кілька рівнянь поміняти місцями, то вийде система рівнянь, еквівалентна даній системі.
· Якщо в системі (1) одне з рівнянь помножити на відмінне від нуля дійсне число, то вийде система рівнянь, еквівалентна даній.
· Якщо до одного з рівнянь системи (1) додати інше її рівняння, помножене на відмінне від нуля дійсне число, то вийде система рівнянь, еквівалентна даній.
· Якщо система (1) містить два пропорційних рівняння, то, видаливши одне з цих рівнянь, ми отримаємо систему рівнянь, еквівалентну даній.
· Якщо в системі (1) є рівняння, все коефіцієнти якого дорівнюють нулю, то після видалення цього рівняння ми отримаємо систему рівнянь, еквівалентну даній.
Описані перетворення називаються елементарними перетвореннями системи (1).
Відповідні перетворення матриці (3) називаються елементарними перетвореннями цієї матриці.
Одним з методів рішення системи (1) є метод Послідовного виключення невідомих або Метод Гаусса.
Нехай дана система (1). Замість того, щоб перетворювати цю систему, досить проводити відповідні перетворення з її розширеною матрицею (3). Переставимо, якщо потрібно, рядки матриці так, щоб у верхньому лівому кутку стояв відмінний від нуля елемент. Будемо вважати, МТО матриця (3) вже задовольняє цій умові. Помноживши перший рядок на число (- 
), Додамо її до другої рядку. В результаті на першому місці у другому рядку буде стояти 0. Помноживши перший рядок на число (- 
), Додамо її до р-ому рядку. В результаті на першому місці в р-ому рядку буде стояти 0. Зробимо це для всіх р від 2 до m. отримаємо матрицю 
(4).
Якщо в матриці (4) є рядок, що складається цілком з нулів, то її відкинемо. Якщо є пропорційні рядки, то з них залишимо тільки одну. Нехай в матриці (4) усі зайві рядки вже відкинуті. Рядки з номерами 2, 3, ..., m переставимо, якщо потрібно, так, щоб у другому рядку на другому місці стояло число, відмінне від нуля. Нехай С22 ¹ 0. Помножимо другий рядок на (- 
) І додамо до к-ой рядку для всіх до від 3 до m. В результаті всі елементи другого стовпця, крім перших двох дорівнюватимуть нулю. (Якщо в матриці (4) усі СК2 Чи рівні нулю, то відразу переходимо до третьої рядку). Продовжуючи описану процедуру далі, ми отримаємо або трикутну, або трапецієподібну матрицю ((5) або (6)).
(5), 
(6)
У цих матрицях все діагональні елементи, крім може бути останнього, відмінні від нуля.
Якщо матриця (3) призвело до виду (5), то система (1) еквівалентна системі
(7)
Очевидно, Е Nn і Fn не можуть бути рівні одночасно нулю. Якщо Е Nn ¹ 0, то система (7), а тому і система (1), має єдине Рішення . Дійсно, з останнього рівняння можна знайти Хn. Підставивши його значення в передостаннє рівняння, знайдемо Хn-1 і так далі. Якщо ж Е Nn = 0, то Fn ¹ 0. У цьому випадку останнє рівняння, а тому і вся система, не має рішення .
Якщо матриця (3) призвело до виду (6), то система (1) буде еквівалентна системі
(8)
якщо 
тоді 
і останнє рівняння не має рішень. Отже, не має рішень і вся система. Якщо ж коефіцієнти 
не всі рівні нулю, то останнє рівняння має нескінченно багато рішень (одне невідоме цього рівняння можна виразити через інші). Але тоді з передостаннього рівняння можна знайти 
і, піднімаючись по системі, можна знайти все невідомі. Система буде мати нескінченно багато рішень.
Метод Гаусса можна запрограмувати і використовуючи отриману програму передати Рішення системи лінійних рівнянь на ЕОМ. Недоліком методу є те, що навіть в разі певної системи не можна знайти формули, що виражають рішення через коефіцієнти рівнянь і вільні члени, а так само не дає можливості сформулювати умови спільності системи через коефіцієнти і вільні члени. Останнє буває дуже важливо в різних теоретичних дослідженнях.